连续可导是什么意思，导数连续和连续可导一样吗

连续可导是什么意思

导数连续和连续可导一样吗

“连续可导”就是导数连续，是指“连续，可导，且导数连续”，而不是“连续且可导”的意思，在考研数学题目里这就是标准提法，比如“f（x）二阶连续可导”，意思就是f ( x ) 有二阶导数，并且二阶导数连续。

PS: 有的人会误认为“连续可导”是“连续，可导，但导数不一定连续”，这是不对的。因为如果 f ( x ) 可导的话那它一定就是连续的，直接说可导就行了，干嘛还要说连续可导 ？

所以证明导数连续和证明连续可导是同一个问题，以证明分段函数连续可导为例，具体步骤就是：

①先求出分段函数在连续区间上的导数表达式；

②求出分段点处的导数值，也就是看导数左极限是否=导数右极限，若存在，则在分段点处函数可导；

③看分段点处导数极限是否=分段点处导数值，若成立，则导数连续，也就是此函数连续可导。

函数连续可导是什么意思

连续可导就是导函数连续的意思。

函数可导性与连续性的关系

（1）连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。

一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

（2）连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。

（3）连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数

函数的定义

函数在某一点处连续的定义是在f（x）在某一点处左右极限相等且都等于该点的函数值。

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连续和可导是数学中两个概念。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

扩展资料1、所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

2、绝对值函数也是连续的。

3、定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

4、非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

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